субота, 5 листопада 2011 р.
Изучение математики (и математика как хобби)
Ришидев Чаудхури
Почему-то держится в страшном секрете, что изучение математики — это очень активный процесс, и оно почти всегда связано с борьбой идей. В значительной степени это происходит от характера математической интуиции: восприятие математической идеи состоит в том, чтобы увидеть ее с разных сторон для более глубокого понимания, почему она верна, и осмысления ее связей с родственными идеями. И вот, когда вы садитесь, чтобы прочитать доказательства или описание идеи, вы редко именно это и сделаете. Вместо этого процесс чаще всего включает в себя чтение с ручкой и листом бумаги и поиском ответов на вопросы: “В чем состоит утверждение? Могу ли я представить это как-то иначе? Можно ли найти более простой случай, который поможет мне разобраться в этом общем понятии? Почему это верно? Что было бы, если бы это утверждение не выполнялось? С какими противоречиями я столкнусь, если попытаюсь его опровергнуть? Как эта идея отражает те, которые были раньше? Насколько важны различные допущения, использованные для доказательства этого утверждения? Все ли они нужны? Существуют ли принципиально другие способы доказательства этого факта?’’ И так далее. Эти вопросы часто включают в себя долгие запутанные исследования с карандашом и бумагой различных идей, которые помогают прояснить ту, которую вы пытаетесь понять.
Аналогично доказательство теоремы или решение задачи является блужданием среди ложных выходов и тупиков, придумыванием идей, которые, кажется, работают, но не проходят в отдельных случаях, осознанием, что вы не понимаете задачи или понятия так хорошо, как вам казалось. И опять же, все это не является пустой тратой времени. Почти в каждом случае, когда кто-либо просто объясняет вам доказательство или рассказывает решение, а вы не пытались сначала сделать это самостоятельно или активно поспрашивать его (что почти одно и то же), вы узнаете, что утверждение справедливо, но вы очень мало узнаете о том, почему оно верно, или что значит то, что это утверждение верно. И большая часть обучения математике происходит не на лекциях, а после них, во время, когда делаются домашние задания (и если у вас есть выбор: пойти на лекцию или сделать домашнее задание, вы всегда должны выбрать последнее).
К сожалению, большинство учеников старших классов школы не учатся этому. Это имеет печальные последствия, и изучение математикичрезвычайно влияет на ожидания и веру в себя, так что оно часто рассматривается как то, к чему вы либо способны, либо неспособны, и многие люди принимают борьбу как признак отсутствия способностей, а не как неотъемлемую часть обучения. Есть, конечно, дети, которые по какому-либо случаю: генетически, вследствие воспитания или чего-то другого, изначально быстрее продвигаются в математике. Но это, кажется, следствие различия в темпераменте и уверенности в себе, или того, что в начальную быстроту просто верят. Как вы справляетесь с неудачами в процессе обучения представляется более важным, чем то, насколько вы быстры (примеч. автора это все, конечно, построено на отдельных наблюдениях).
Это я отчетливо понял во время уроков математики. Неизбежно будут две группы людей, которым необходимо одно и то же время, чтобы решить или почти решить задачу, но совершенно по-разному оценивающих свои математические способности (и эта оценка в течение семестра становится реальностью). Некоторые студенты, проведя десять минут в борьбе с задачей, подумают, что решить ее трудно и примут это за признак того, что они действовали способом, который не работает, тратили время на понимание задачи, продвигались к решению, практиковались в логическом мышлении и так далее. Другие начнут беспокоиться и через десять минут, примерно на той же стадии рассуждений, придут ко мне, будучи убежденными, что они никогда не поймут это и что они что-то прослушали или не имеют способностей к математике (примеч. автора Неудивительно, что эти группы делятся как-то по половому признаку). И эти две группы, кажется, не сильно отличаются по уровню интуиции, и для второй группы уверение в том, что она движется в правильном направлении или помощь в следовании по избранному пути, даже если он изначально выбран неправильно, часто приводит к тому же решению. Как ни странно, в то время как работа учителя математики, казалось бы, должна состоять в том, чтобы помочь с математической интуицией, большая часть работы является успокаиванием для компенсации того, что они должны были услышать или узнать, но не сделали этого: будьте терпеливы.
Одной из неизбежных трагедий специализации является то, что большинство людей после окончания колледжа или средней школы не ходит на занятия по многим предметам. Для некоторых это компенсируется любительским интересом, скажем, к истории или философии. Но по ряду причин, о которых я уже говорил, причин, которые заставляют студентов думать, что знание математики невозможно без природного таланта и что безнадежно заниматься математикой без этих важнейших способностей, мало людей, кажется, могут поддерживать любительский интерес к математике или изучать математику как хобби.
Если это еще непонятно, я думаю, очень жаль, что так происходит, особенно потому, что это часто мотивировано ложной оценкой своих математических способностей. И еще очень жаль, потому что большинство людей прекращают занятия математикой как раз в тот момент, когда начинаются забавные вещи, именно тогда, когда они прошли уже большую часть утомительной арифметики и, наконец, готовы к путешествию в абстракцию. Это все равно, что ходить на занятия танцами, но никогда не танцевать.
И почти каждый, проявляющий устойчивый интерес к математике, скажет вам, что в математике содержатся некоторые из самых красивых умозрительных и эстетических удовольствий, нам доступных. Это место, где находятся некоторые из величайших и самых элегантных идей, которые мы знаем, место, где пытаются исследовать природу бесконечности, абстрактно описать форму и пространство и рассуждать о природе логики. Существует глубокая архитектурная красота зданий больших математических теорий. Математическая мысль — такая же часть нашего интеллектуального и эстетического наследия, как искусство и философия. Было бы стыдно пропустить все это великолепие, если бы вам пришлось это сделать.
Математика также является очень ярким примером получения удовольствия от интеллектуальной игры. Большие разделы математики появляются, когда кого-то записывает некоторые правила и изучает, что он может построить в рамках этих правил, задаваясь вопросом, какого типа объекты эти правила порождают, какой понятийной Вселенной они дают жизнь, и как объекты взаимодействуют в рамках этой Вселенной. Это похоже на то, как резвятся в неком фантастическом саду Борхеса.
Конечно, есть много других удовольствий. Можно получать удовольствие от изучения математического языка с его понятийной точностью и логической силой, удовольствие от перевода, когда вы начинаете видеть абстрактное общее в объектах, чтобы описать их математически. Есть и меньшие материальные удовольствия от занятий математикой, такие как тактильное удовольствие от исписывания большого количества листов бумаги, когда вы исследуете какую-либо идею. И математические обозначения очаровательны: греческие буквы и многочисленные закорючки, и множество символов, каждый из которых имеет собственную историю. Это то же очарование, я думаю, как и у алхимии или у символических эзотерических учений.
Изучение математики, доказательство теорем и решение задач требует времени, но что с того? Спешить некуда, и вы будете изучать некоторые из самых глубоких идей, какие у нас имеются. И удовольствие от изучения идеи, исследования ее со всех сторон, а затем захватывающий прыжок (или медленное карабканье), чтобы окончательно ее постичь, для вашей интуиции не имеет себе равных.
Итак, с чего начать? Удобно то, что многие учебники математики не требуют никаких предварительных знаний (по крайней мере формально, в них определяется все, что нужно, но недостаток опыта может сделать следование логическим переходам труднее). Для изучения ради удовольствия, с прицелом на эстетику, либо вещественный анализ (который изучает сложную структуру числовой прямой) или абстрактная алгебра (которая пытается абстрагироваться и изучать отношения, такие как сложение или умножение) хороши для начала. В конце статей Википедии об этих двух разделах математики есть ссылки к онлайн-учебникам, и многие университеты выкладывают свои курсы в режиме онлайн, так что довольно легко найти материалы для изучения.
С чего начать изучения математики
ВУЗовский курс математики неплохо представлен вот на этом ресурсе: http://www.intuit.ru/ Если нет проблем с восприятием текстовой информации с экрана монитора, то советую безотлагательно начать изучать что-нибудь, вроде "Введения в математику".
Кстати говоря, существует возможность скачивать необходимые книги из интернета. Вот соответствующий "поисковик":http://www.poiskknig.ru/index.html Для просмотра большинства файлов (тех, что не pdf) нужен DjVu Browser Plug-in, который можно скачать вот отсюда: http://www.lizardtech.com/download/dl_options.php?page=plugins Таким макаром можно бесплатно заиметь немало хороших книг по математике (например, того же Кнута с соавторами). А то, к сожалению, учебно-научная литература нынче достаточно дорога.
Так же скорее всего понадобится освежить в памяти основные понятия элементарной математики. Поскольку без этого даже самые простые задачи из "высшей" математики могут оказаться нерешаемыми (возведение в степень комплексного числа, требующее знания основ тригонометрии, яркий тому пример). Чтение школьных учебников - чересчур муторное занятие, поэтому лучше приобрести какое-нибудь пособие для абитуриентов с достаточным освещением теоретических вопросов. Учиться решать хитроумные "конкурсные" задачи Вам ни к чему, но основные определения и теоремы школьного курса необходимо знать уверенно.
Самый главный вопрос и наверное - это самый главный момент, придётся запастись терпением, терпением и ещё раз терпением. Потому что даже самые удачно написанные книги по "высшей" математике невозможно читать как "худлит": их нужно штудировать "с карандашом в руках", доскональнейшим образом разбирая определения, иллюстрирующие их примеры, формулировки теорем, доказательства, контрпримеры к неверным утверждениям; нужно быть готовым самостоятельно восполнять пропущенные автором выкладки и рассуждения; а при решении задач необходимо продемонстрировать высочайший уровень самоконтроля. И всё это - на протяжении не одного и не двух месяцев!
Если предыдущий абзац не очень-то Вас и деморализовал, то с моей стороны будет уместным перечислить напоследок те книги, которые лично я могу рекомендовать самым горячим образом. Наиболее предпочтительные варианты указаны первыми.
Введение в "высшую" математику:
1. Курант, Роббинс - "Что такое математика?".
Общие курсы:
1. Пискунов Н.С. - "Дифференциальное и интегральное исчисление";
2. Курант Р. - "Курс дифференциального и интегрального исчисления".
Аналитическая геометрия:
1. Ефимов Н.В. - "Краткий курс аналитической геометрии";
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. - "Аналитическая геометрия";
3. Беклемишев Д.В. - "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры".
Линейная алгебра:
1. Стренг - "Линейная алгебра и её применения";
2. Гельфанд И.М. - "Лекции по линейной алгебре";
3. Курс Беклемишева (см. выше).
Математический анализ (сверх того, что перечислено в пункте "Общие курсы"):
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. - "Основы математического анализа";
2. Фихтенгольц Г.М. - "Курс дифференциального и интегрального исчисления".
Дифференциальные уравнения (сверх того, что перечислено в пункте "Общие курсы"):
1. Тихонов, Васильева, Свешников - "Дифференциальные уравнения".
Дискретная математика:
1. Грэхем, Кнут, Паташник - "Конкретная математика. Основание информатики";
2. Кук, Бейз - "Компьютерная математика";
3. Биркгоф, Барти - "Современная прикладная алгебра".
Теория вероятностей:
1. Соответствующая глава книги Грэхема, Кнута, Паташника (см. выше);
2. Соответствующая глава курса Пискунова (см. выше);
3. Феллер В. - "Введение в теорию вероятностей и её приложения" (но это, пожалуй, слишком круто).
Задачники:
1. Данко, Попов, Кожевникова (вся "высшая" математика);
2. Гюнтер, Кузьмин (вся "высшая" математика);
3. "Анти-Демидович" (вся "высшая" математика);
4. Беклемишева, Петрович, Чубаров (по алгебре и геометрии);
5. Кудрявцев, Кутасов, Чехлов, Шабунин (по анализу);
6. Гаврилов, Сапоженко (по дискретной математике).
http://www.mathforum.ru/forum/read/1/11961/11966/
Как учиться говорить на иностранном языке
Прочтите кусок, который вам нужно выучить раз десять, не пытаясь ничего запомнить. Потом взять листочки и написать на них небольшие предложения из него. Разложите эти листочки в книгу, которую читаете, положите на все места, к которым вы часто подходите и можете заодно ещё раз посмотреть на листочек.
Учите регулярно наизусть самые простые тексты. Вы подготовите себя таким образом к запоминанию более сложных. Заучивание текстов наизусть хорошо разовьёт вашу речь. Вы начнёте говорить без ошибок, использовать идиомы. У тех, кто способен много выучивать наизусть, изучение языка идёт очень быстрыми темпами. Поэтому, стоит большое внимание уделить тренировке умения учить наизусть. Этим можно заниматься по десять минут в день. Такие занятия требуют напряжения и не должны долго длится, чтобы не ослабевало внимание.
Если написанное по-английски вам трудно пересказать даже по-русски
Бывает, что текст вы можете перевести, но русские слова нашли в словаре, они вам конечно знакомы, но вы их сами не привыкли использовать в разговоре. Текст и на русском языке получается для вас сложным. Значит, нужно работать над своей эрудицией. Читать больше научно-популярной литературы или литературы на темы, о которых вы мало знаете, несмотря на их популярность, например, по экономике, по биржевой торговле, по экологии и другим часто обсуждающимся сейчас темам. Смотреть серьёзные телевизионные программы, развлекательные лучше совсем исключить, на них не останется времени. Одновременно перестать общаться с людьми, ведущими обывательские разговоры. Лучше обдумывать прочитанное, чем вести пустой разговор. Качественное осмысление информации даже важнее её количества. Не старайтесь прочесть как можно больше почти одинаковых статей по одной теме. Выбирайте те, в которых есть что-то новое и осмысливайте их. Старайтесь вырабатывать своё собственное мнение по всем вопросам. Это будет легче, если вы будете критически относится к просмотренным телепередачам, общаться с единомышленниками или эрудированными людьми, рассказывающими много интересного, но не навязывающими при этом своего
мнения. Формируя собственное мнение по всем вопросам, вы не будете подвержены чужому влиянию и приобретёте большую уверенность в себе.
Как научиться пересказывать своими словами
Пересказать своими словами – означает, что нужно найти синонимы к словам текста и перестроить его. Это возможно даже если словарный запас небольшой. Переведите текст на русский язык, потом перепишите своими словами. Возьмите русско-английский словарь и посмотрите значениях слов на английском языке. Таким образом вы найдёте синонимы ко многим словам текста. Попробуйте после этого пересказать текст кратко, высказав главную мысль текста. Не стремитесь к большой точности, главное хоть как-то пересказать. Если забыли слово, старайтесь построить предложение так, чтобы его не использовать. Если пересказываете в классе, то никто ничего не заметит. А забытое слово, вы сможете всегда спросить у учителя после урока или посмотреть потом в словаре. Умение не использовать забытое слово важнее чем знание этого слова. Не нужно стремится пополнять словарный запас, прежде чем научились всё объяснять с помощью уже выученных наиболее общеупотребительных слов. При пересказе в классе обращайтесь к другим ученикам и забудьте о существовании учителя. Тренируйте своё ораторское мастерство.
Не важно, что ваша речь пока не идеальна. Главное говорить.
Тренируйтесь, пересказывая всего одно предложение, выражающее одну мысль. Перескажите его несколько раз по-разному.
Важно знать: Знание синонимов не означает высокий уровень владения языком. Способность пересказывать тексты своими словами и находить синонимы развивается с первых шагов в изучении языка. Это упражнение хорошо помогает пополнить словарный запас. Так учат язык и маленькие дети. В 3 года дети ещё мало знают об окружающем мире, а многие уже хорошо говорят. Они умеют говорить разными словами об одном и том же. Употребляют они слова конечно часто не совсем правильно и для взрослых смешно, но их речь всем понятна.
http://your-english.ru/articles/2009/10/20/esli-nuzhno-viuchit-tekst-naizust.html
http://your-english.ru/articles/2009/10/20/esli-nuzhno-viuchit-tekst-naizust.html
понеділок, 8 серпня 2011 р.
Концентрация
Чтение интересной книги или переживания драматического матча переносят нас в особое состояние, словно под «стеклянный колпак», отгораживая нас от внешнего мира. Здесь проявляется наш личный интерес к тому, чем мы занимаемся, что нас освобождает от усилий концентрироваться.
Не прикладывая усилий, мы можем концентрировать наше внимание тогда, когда нам интересна работа, деятельность, событие. Концентрация — это усилия нашей психики. При этом мозг начинает активно снабжаться кровью, и способность воспринимать и обрабатывать информацию значительно повышается.
Существует много вещей, которые мы делаем с удовольствием, и которым при этом уделяем много внимания без особых усилий. Также непроизвольно мы можем концентрироваться в ситуациях, которые вынуждают нас сосредоточивать внимание, отключаясь от всего остального; когда мы, например, преследуем определённую прагматическую цель или находимся в стрессовой ситуации. Разве вы не замечали, как, сконцентрировавшись, отвечали на вопросы преподавателя на экзамене, хотя за десять минут до этого страшно нервничали. Или как на секунду призадумались за рулём автомобиля, едва не угодив в аварию, но за миг до этого быстро собрались и взяли себя в руки. Во всех таких случаях концентрация возникает не по нашей воле.
субота, 25 червня 2011 р.
вівторок, 14 червня 2011 р.
Как концентрироваться
Дело в том, что наша способность к концентрации сильно зависит от достаточного количества кислорода в помещении и от правильной посадки. Сосуды не должны быть пережаты, мышцы не должны быть перенапряжены, а позвоночный столб должен быть прямым (а не сгорбленным или искривленным). Если что-то не так, то в мозг начинаются посылы сигналов "мол, тут не так! Мне не удобно!", что субъективно ощущается как желание поскорее прервать занятие. Так что садитесь прямо, расслабьтесь, расслабьте шею, руки и плечи, откройте окно или форточку, чтобы кислорода было завались, организуйте свет. На рабочем месте все должно быть под рукой - книги, принадлежности и т.п., чтобы не вставать лишний раз. Отключите звонок на телефоне и спокойно начинайте прорабатывать материал - Вы должны быть уверены в том, что ничего вас не побеспокоит, и у вас достаточно много времени на все.
Каждые 20-30 минут можно делать перерыв, а часика через два просто сделайте короткую прогулку на улице. Даже если там сыро и гадко.
И помните - ложка дорога к обеду, и аппетит приходит во время еды. Просто сядьте и начните работать в удобном для Вас темпе. Вы можете не торопиться ведь - изучили один абзац, сделали себе пометки, пожалуйста - откиньтесь, поразмышляйте... Потом скажите себе - у меня много времени, мне некуда торопиться, и я уверен в себе, что я этот материал легко освою. Приступайте к следующему... без всяких там "быстрее быстрее". Так постепенно Вы проделаете нужную работу и получите от этого удовольствие.
Підписатися на:
Дописи (Atom)