Ришидев Чаудхури
Почему-то держится в страшном секрете, что изучение математики — это очень активный процесс, и оно почти всегда связано с борьбой идей. В значительной степени это происходит от характера математической интуиции: восприятие математической идеи состоит в том, чтобы увидеть ее с разных сторон для более глубокого понимания, почему она верна, и осмысления ее связей с родственными идеями. И вот, когда вы садитесь, чтобы прочитать доказательства или описание идеи, вы редко именно это и сделаете. Вместо этого процесс чаще всего включает в себя чтение с ручкой и листом бумаги и поиском ответов на вопросы: “В чем состоит утверждение? Могу ли я представить это как-то иначе? Можно ли найти более простой случай, который поможет мне разобраться в этом общем понятии? Почему это верно? Что было бы, если бы это утверждение не выполнялось? С какими противоречиями я столкнусь, если попытаюсь его опровергнуть? Как эта идея отражает те, которые были раньше? Насколько важны различные допущения, использованные для доказательства этого утверждения? Все ли они нужны? Существуют ли принципиально другие способы доказательства этого факта?’’ И так далее. Эти вопросы часто включают в себя долгие запутанные исследования с карандашом и бумагой различных идей, которые помогают прояснить ту, которую вы пытаетесь понять.
Аналогично доказательство теоремы или решение задачи является блужданием среди ложных выходов и тупиков, придумыванием идей, которые, кажется, работают, но не проходят в отдельных случаях, осознанием, что вы не понимаете задачи или понятия так хорошо, как вам казалось. И опять же, все это не является пустой тратой времени. Почти в каждом случае, когда кто-либо просто объясняет вам доказательство или рассказывает решение, а вы не пытались сначала сделать это самостоятельно или активно поспрашивать его (что почти одно и то же), вы узнаете, что утверждение справедливо, но вы очень мало узнаете о том, почему оно верно, или что значит то, что это утверждение верно. И большая часть обучения математике происходит не на лекциях, а после них, во время, когда делаются домашние задания (и если у вас есть выбор: пойти на лекцию или сделать домашнее задание, вы всегда должны выбрать последнее).
К сожалению, большинство учеников старших классов школы не учатся этому. Это имеет печальные последствия, и изучение
математикичрезвычайно влияет на ожидания и веру в себя, так что оно часто рассматривается как то, к чему вы либо способны, либо неспособны, и многие люди принимают борьбу как признак отсутствия способностей, а не как неотъемлемую часть обучения. Есть, конечно, дети, которые по какому-либо случаю: генетически, вследствие воспитания или чего-то другого, изначально быстрее продвигаются в математике. Но это, кажется, следствие различия в темпераменте и уверенности в себе, или того, что в начальную быстроту просто верят. Как вы справляетесь с неудачами в процессе обучения представляется более важным, чем то, насколько вы быстры (примеч. автора это все, конечно, построено на отдельных наблюдениях).
Это я отчетливо понял во время уроков математики. Неизбежно будут две группы людей, которым необходимо одно и то же время, чтобы решить или почти решить задачу, но совершенно по-разному оценивающих свои математические способности (и эта оценка в течение семестра становится реальностью). Некоторые студенты, проведя десять минут в борьбе с задачей, подумают, что решить ее трудно и примут это за признак того, что они действовали способом, который не работает, тратили время на понимание задачи, продвигались к решению, практиковались в логическом мышлении и так далее. Другие начнут беспокоиться и через десять минут, примерно на той же стадии рассуждений, придут ко мне, будучи убежденными, что они никогда не поймут это и что они что-то прослушали или не имеют способностей к математике (примеч. автора Неудивительно, что эти группы делятся как-то по половому признаку). И эти две группы, кажется, не сильно отличаются по уровню интуиции, и для второй группы уверение в том, что она движется в правильном направлении или помощь в следовании по избранному пути, даже если он изначально выбран неправильно, часто приводит к тому же решению. Как ни странно, в то время как работа учителя математики, казалось бы, должна состоять в том, чтобы помочь с математической интуицией, большая часть работы является успокаиванием для компенсации того, что они должны были услышать или узнать, но не сделали этого: будьте терпеливы.
Одной из неизбежных трагедий специализации является то, что большинство людей после окончания колледжа или средней школы не ходит на занятия по многим предметам. Для некоторых это компенсируется любительским интересом, скажем, к истории или философии. Но по ряду причин, о которых я уже говорил, причин, которые заставляют студентов думать, что знание математики невозможно без природного таланта и что безнадежно заниматься математикой без этих важнейших способностей, мало людей, кажется, могут поддерживать любительский интерес к математике или изучать математику как хобби.
Если это еще непонятно, я думаю, очень жаль, что так происходит, особенно потому, что это часто мотивировано ложной оценкой своих математических способностей. И еще очень жаль, потому что большинство людей прекращают занятия математикой как раз в тот момент, когда начинаются забавные вещи, именно тогда, когда они прошли уже большую часть утомительной арифметики и, наконец, готовы к путешествию в абстракцию. Это все равно, что ходить на занятия танцами, но никогда не танцевать.
И почти каждый, проявляющий устойчивый интерес к математике, скажет вам, что в математике содержатся некоторые из самых красивых умозрительных и эстетических удовольствий, нам доступных. Это место, где находятся некоторые из величайших и самых элегантных идей, которые мы знаем, место, где пытаются исследовать природу бесконечности, абстрактно описать форму и пространство и рассуждать о природе логики. Существует глубокая архитектурная красота зданий больших математических теорий. Математическая мысль — такая же часть нашего интеллектуального и эстетического наследия, как искусство и философия. Было бы стыдно пропустить все это великолепие, если бы вам пришлось это сделать.
Математика также является очень ярким примером получения удовольствия от интеллектуальной игры. Большие разделы математики появляются, когда кого-то записывает некоторые правила и изучает, что он может построить в рамках этих правил, задаваясь вопросом, какого типа объекты эти правила порождают, какой понятийной Вселенной они дают жизнь, и как объекты взаимодействуют в рамках этой Вселенной. Это похоже на то, как резвятся в неком фантастическом саду Борхеса.
Конечно, есть много других удовольствий. Можно получать удовольствие от изучения математического языка с его понятийной точностью и логической силой, удовольствие от перевода, когда вы начинаете видеть абстрактное общее в объектах, чтобы описать их математически. Есть и меньшие материальные удовольствия от занятий математикой, такие как тактильное удовольствие от исписывания большого количества листов бумаги, когда вы исследуете какую-либо идею. И математические обозначения очаровательны: греческие буквы и многочисленные закорючки, и множество символов, каждый из которых имеет собственную историю. Это то же очарование, я думаю, как и у алхимии или у символических эзотерических учений.
Изучение математики, доказательство теорем и решение задач требует времени, но что с того? Спешить некуда, и вы будете изучать некоторые из самых глубоких идей, какие у нас имеются. И удовольствие от изучения идеи, исследования ее со всех сторон, а затем захватывающий прыжок (или медленное карабканье), чтобы окончательно ее постичь, для вашей интуиции не имеет себе равных.
Итак, с чего начать? Удобно то, что многие учебники математики не требуют никаких предварительных знаний (по крайней мере формально, в них определяется все, что нужно, но недостаток опыта может сделать следование логическим переходам труднее). Для изучения ради удовольствия, с прицелом на эстетику, либо вещественный анализ (который изучает сложную структуру числовой прямой) или абстрактная алгебра (которая пытается абстрагироваться и изучать отношения, такие как сложение или умножение) хороши для начала. В конце статей Википедии об этих двух разделах математики есть ссылки к онлайн-учебникам, и многие университеты выкладывают свои курсы в режиме онлайн, так что довольно легко найти материалы для изучения.
